Modelos cuantitativos

El modelo de Rough Heston y la ecuación de Riccati fraccionaria que nadie te explicó en la universidad

Equipo editorial 7 de septiembre de 2026

La reversión a la media y la memoria fraccionaria no se contradicen. Combinadas, producen un modelo más honesto con los datos.

$Derivación matemática de ecuación fraccionaria de Riccati$

El modelo de Rough Heston no es simplemente el modelo de Heston con un parámetro adicional. Es una arquitectura diferente que combina la reversión a la media con la memoria fraccionaria, produce una ecuación de Riccati fraccionaria donde antes había una ordinaria y ofrece algo que el Rough Bergomi no tiene: una semiestructura analítica que hace la calibración más tratable. Este artículo examina qué lo distingue, qué resuelve y qué problemas nuevos introduce.

H menor que 0,5 con reversión a la media

De Heston a Rough Heston: qué cambia y por qué importa

El modelo de Heston clásico modela la varianza instantánea como un proceso de reversión a la media de tipo Cox-Ingersoll-Ross. Tiene propiedades analíticas muy convenientes: la función característica del logaritmo del precio tiene forma semianalítica que permite valorar opciones mediante transformada de Fourier sin recurrir a simulación de Monte Carlo. El problema es que, como todos los modelos de volatilidad estocástica basados en procesos de difusión estándar, no puede reproducir la explosión del sesgo implícito a vencimientos cortos que se observa en los datos reales. El modelo de Rough Heston, desarrollado por El Euch y Rosenbaum, reemplaza el proceso de varianza estándar por un proceso de Volterra que incorpora un kernel fraccionario con exponente de Hurst H menor que 0,5. La reversión a la media sigue presente, pero ahora actúa sobre un proceso con memoria, lo que cambia cualitativamente el comportamiento del modelo a vencimientos cortos sin sacrificar por completo la tratabilidad analítica. Ese equilibrio es lo que hace al modelo de Rough Heston especialmente relevante para aplicaciones donde la calibración eficiente es una restricción real.

Calibración sin Monte Carlo completo

La ecuación de Riccati fraccionaria como sustituto analítico

Una de las propiedades más valiosas del modelo de Heston clásico es que la función característica del logaritmo del precio satisface una ecuación de Riccati ordinaria cuya solución puede calcularse de forma analítica o semianalítica. Esto permite valorar una opción europea mediante una transformada de Fourier numérica en milisegundos, una velocidad inalcanzable para cualquier método de Monte Carlo. Bajo el modelo de Rough Heston, la función característica satisface una ecuación de Riccati fraccionaria, es decir, una ecuación diferencial donde la derivada ordinaria se reemplaza por una derivada fraccionaria de orden H más 0,5. Esta ecuación no tiene solución analítica en forma cerrada, pero puede resolverse numéricamente con métodos de cuadratura adaptados que son órdenes de magnitud más rápidos que la simulación de Monte Carlo. Para la calibración a superficies de volatilidad completas, esta diferencia de velocidad es determinante: permite explorar el espacio de parámetros de forma suficientemente densa como para encontrar el mínimo global con mayor fiabilidad que bajo el Rough Bergomi puro.

Mejor comportamiento en vencimientos largos

Comparación directa con el Rough Bergomi: virtudes y concesiones

El modelo de Rough Bergomi y el modelo de Rough Heston comparten la misma motivación empírica: reproducir la rugosidad de la volatilidad observada en datos de alta frecuencia. Pero sus arquitecturas son distintas y sus ventajas relativas también. El Rough Bergomi es más parsimonioso en parámetros y más directo en su estructura matemática, pero depende completamente de Monte Carlo para la valoración y las sensibilidades. El Rough Heston añade la reversión a la media como componente estructural, lo que mejora su comportamiento a vencimientos largos donde el Rough Bergomi tiende a subestimar la volatilidad implícita, y ofrece la ecuación de Riccati fraccionaria como vía de valoración más eficiente. La concesión es que la reversión a la media introduce parámetros adicionales que deben calibrarse y que el modelo es matemáticamente más complejo de implementar correctamente. No hay un ganador universal: la elección entre ambos depende del perfil de vencimientos de la cartera, de las restricciones computacionales del entorno y de la región de la superficie de volatilidad que el modelo necesita reproducir con mayor precisión.

Recalibración más frecuente y viable

Implicaciones para la cobertura y la gestión del riesgo

Una pregunta relevante para cualquier profesional que gestiona posiciones en derivados es si el modelo de Rough Heston mejora la cobertura dinámica respecto al Rough Bergomi o respecto a los modelos clásicos. La respuesta honesta es matizada. Por un lado, el modelo de Rough Heston, al ser más rápido de calibrar gracias a la ecuación de Riccati fraccionaria, permite recalibrar con mayor frecuencia y mantener la coherencia entre el modelo y las condiciones actuales de mercado. Por otro lado, sigue siendo un proceso no semimartingala con H menor que 0,5, lo que significa que los errores de cobertura estructurales descritos para los modelos rugosos en general siguen presentes. La reversión a la media mejora el comportamiento del modelo a horizontes largos, pero no elimina el problema fundamental de la cobertura bajo rugosidad. Las sensibilidades pueden estimarse de forma más eficiente que bajo el Rough Bergomi, pero siguen requiriendo diferenciación numérica de la solución de la ecuación de Riccati fraccionaria, lo que introduce su propio error numérico que debe cuantificarse y gestionarse.

Identificabilidad paramétrica pendiente de resolución

Preguntas abiertas y límites del modelo

El modelo de Rough Heston es uno de los marcos más completos disponibles hoy para la valoración de derivados bajo volatilidad rugosa, pero tiene preguntas abiertas que la literatura no ha cerrado. La primera es la identificabilidad de los parámetros: con más parámetros que el Rough Bergomi, el riesgo de que distintas combinaciones de parámetros produzcan superficies de volatilidad similares es mayor, lo que complica la interpretación económica de los valores calibrados. La segunda es el comportamiento del modelo en condiciones extremas de mercado: la evidencia empírica sobre su comportamiento en episodios de alta turbulencia es más limitada que para el modelo de Heston clásico, simplemente porque el modelo es más reciente y ha sido sometido a menos ciclos de mercado. La tercera es la extensión del modelo a múltiples activos correlacionados: la generalización del Rough Heston a un entorno multidimensional coherente es matemáticamente no trivial y sigue siendo un área activa de investigación con resultados preliminares pero sin consenso establecido en la comunidad cuantitativa.

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