El esquema de Euler-Maruyama es el método de referencia para simular ecuaciones diferenciales estocásticas bajo difusión estándar. Su orden de convergencia fuerte es 0,5 bajo hipótesis de regularidad estándar, lo que en la práctica significa que reducir el error a la mitad requiere cuadruplicar el número de pasos temporales. Bajo un proceso de volatilidad rugosa con exponente de Hurst H cercano a 0,1, el orden de convergencia del esquema de Euler aplicado directamente al proceso de Volterra cae por debajo de 0,5 y puede acercarse a H, lo que hace que el esquema sea prohibitivamente lento para alcanzar una precisión razonable. El problema fundamental es que el kernel de Volterra, que introduce la memoria del proceso, no es diferenciable en el origen para H menor que 0,5, y los esquemas de Euler no tienen mecanismo para tratar esa singularidad de forma eficiente. Antes de implementar cualquier método numérico para un modelo rugoso, es imprescindible verificar su orden de convergencia empírico en el rango de parámetros específico que se va a usar, no asumir que el orden teórico bajo hipótesis estándar es alcanzable en la práctica con los parámetros del modelo calibrado.

El método de Cholesky completo para simular el movimiento browniano fraccional con exponente H arbitrario construye la matriz de covarianza completa de los incrementos del proceso en todos los instantes temporales de la discretización y calcula su factorización de Cholesky para generar trayectorias exactas en distribución. La ventaja es que el método es exacto: no introduce error de discretización más allá del inherente a la representación en tiempo discreto. La desventaja es que la complejidad computacional escala como el cubo del número de pasos temporales N para la factorización y como el cuadrado de N para la generación de cada trayectoria, lo que lo hace impracticable para más de unos pocos cientos de pasos temporales. Para aplicaciones de calibración que requieren valorar miles de opciones sobre una superficie completa, este coste es prohibitivo incluso con infraestructura computacional moderna. El método de Cholesky completo tiene su lugar como referencia para validar la precisión de métodos más rápidos, pero no como método de producción en ningún entorno real de valoración o gestión del riesgo.

Una de las aproximaciones más utilizadas en la práctica para reducir el coste de simulación bajo modelos rugosos es aproximar el kernel de Volterra mediante una suma finita de funciones exponenciales. Esta representación transforma el proceso de Volterra, que tiene memoria completa y requiere almacenar toda la trayectoria pasada, en un sistema de procesos de Ornstein-Uhlenbeck acoplados que solo necesitan el estado actual para avanzar en el tiempo. El coste de simulación pasa de escalar cuadráticamente con el número de pasos a escalar linealmente, lo que es una mejora práctica de enorme importancia para aplicaciones de producción. El precio que se paga es un error de aproximación del kernel que depende del número de términos exponenciales usados en la suma. Con un número suficiente de términos, típicamente entre cinco y quince según la precisión requerida, el error de aproximación es pequeño comparado con el error de Monte Carlo inherente a la simulación. Los trabajos de Alfonsi y Kebaier, y de Gatheral y colaboradores, proporcionan análisis del error de esta aproximación que permiten calibrar el número de términos necesarios en función de los parámetros del modelo y de la precisión objetivo.

El esquema de simulación híbrida propuesto por Bennedsen, Lunde y Pakkanen en 2017 ofrece un equilibrio diferente entre exactitud y coste computacional. La idea central es tratar de forma exacta la parte del kernel de Volterra que corresponde a los pasos temporales más recientes, donde la singularidad del kernel es más pronunciada y donde los métodos de aproximación introducen más error, y aproximar el resto del kernel mediante un esquema más eficiente. Esta separación entre la parte próxima y la parte lejana del kernel permite controlar el error de discretización de forma más precisa que los esquemas que aproximan el kernel de forma uniforme en todo el horizonte temporal. El esquema híbrido ha demostrado un buen equilibrio entre precisión y coste en aplicaciones al modelo de Rough Bergomi, y es uno de los métodos de referencia en la literatura para verificar la precisión de aproximaciones más rápidas. Su implementación es más compleja que la de los métodos basados en suma de exponenciales, pero el control explícito del error que ofrece lo hace especialmente valioso en aplicaciones donde la precisión de la simulación es crítica para el resultado de valoración.

El error de Monte Carlo en la estimación del precio de una opción bajo un modelo rugoso tiene dos componentes: el error de discretización introducido por el esquema numérico elegido y el error estadístico inherente al número finito de trayectorias simuladas. Las técnicas estándar de reducción de varianza, como el muestreo por importancia, las variables de control y los cuasialeatórios de baja discrepancia, son aplicables en principio bajo modelos rugosos, pero su implementación eficiente requiere adaptaciones específicas al proceso de Volterra. En particular, la elección de una variable de control adecuada bajo el modelo de Rough Bergomi no es obvia porque no existe una fórmula analítica de referencia para el precio de la opción que pueda usarse directamente como variable de control. Algunos trabajos recientes proponen usar precios calculados bajo una aproximación del modelo como variables de control, lo que permite reducir la varianza de la estimación de Monte Carlo de forma significativa sin aumentar el coste computacional por trayectoria. La combinación de un esquema de discretización eficiente con técnicas de reducción de varianza bien calibradas es la práctica recomendada para aplicaciones de producción donde el coste computacional total es una restricción real.

El cálculo de sensibilidades de precio, delta, vega y las derivadas de segundo orden, es tan importante como el cálculo del precio en sí para cualquier aplicación de gestión del riesgo. Bajo modelos con solución analítica, las sensibilidades se obtienen diferenciando la fórmula de precio. Bajo el modelo de Rough Bergomi o el Rough Heston, donde el precio se obtiene por simulación de Monte Carlo, las sensibilidades deben estimarse numéricamente. La diferenciación automática, en su variante de modo adjunto o reverso, permite calcular el gradiente del precio respecto a todos los parámetros del modelo con un coste computacional proporcional al de una sola evaluación del precio, independientemente del número de parámetros. Esta propiedad la convierte en el método de referencia para el cálculo de sensibilidades bajo modelos rugosos implementados mediante Monte Carlo. Su implementación requiere que el código de simulación esté escrito de forma compatible con el motor de diferenciación automática elegido, lo que puede implicar restricciones sobre los esquemas numéricos y las estructuras de datos que se pueden usar, pero el beneficio en términos de eficiencia computacional justifica ampliamente esa inversión inicial.

Antes de adoptar un esquema numérico para producción, la práctica rigurosa exige validarlo de forma sistemática contra al menos un método de referencia más preciso pero más lento, como el método de Cholesky completo con un número reducido de trayectorias. Esta validación cruzada debe realizarse no solo en condiciones de mercado normales sino también en regiones extremas del espacio de parámetros, por ejemplo con H muy cercano a cero o con niveles de volatilidad inicial muy altos, donde los esquemas de aproximación tienden a deteriorarse más. Un esquema que pasa la validación cruzada en condiciones normales pero falla en condiciones extremas puede generar errores de valoración significativos precisamente cuando el mercado está en un estado de estrés donde la precisión del modelo es más crítica. La documentación del proceso de validación, incluyendo los casos de prueba usados, los criterios de aceptación y los límites de error observados, debería ser parte estándar de cualquier implementación de un modelo rugoso en un entorno de producción regulado.